徒然なるままに

私の不器用な人生を見届けてください

出題者はたぶん蒲鉾を転がして遊んでいた。

物理基礎 物理基礎-古典力学 物理基礎-古典力学-剛体の運動

こんにちは。 コロナウイルスで拡張されていた春休みもとうとう終わりに近づいてきました。 悲しいです。メンボーです。

早速前回に引き続き院試を解いていくわけですが、今回は2019年筑波大学大学院入試の大問Ⅱ[B]から始めます。

↓リンクはこちら。

http://www.px.tsukuba.ac.jp/~senkou/documents/exam/5bf254daa737f.pdf

問題設定はこう↓

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ipadで書いてみたお。

第一問目は線分OGの長さが \displaystyle \frac{4a}{3 \pi}になることを示せという問題です。 重心の定義 \displaystyle X_G = \frac{M_1 X_1 + M_2 X_2 + \cdots}{X_1 + X_2 + \cdots} に忠実に従い計算します。ただ今回は質量が連続的に分布しているためこの表式を連続的な表式↓に書き換えます。

\displaystyle X_G = \frac{\int y dS}{\int ds} \tag{1}

ただし点Oを原点にOからGへ向かう向きをy軸正に設定しました。 勿論この式の分母は半円の面積なので \pi a^ 2 /2 。 分子は \int_0^ a 2y \sqrt{a^ 2- y ^2} dy。被積分関数のルート部を置換することにより、

\begin{eqnarray} \displaystyle \int_0^ a 2y \sqrt{a^ 2- y ^2} dy = \int_{a^ 2}^ 0 - \sqrt{t} dt = \frac{2a^ 3}{3} \end{eqnarray}

よって、 \displaystyle OG = \frac{2 a^ 3/3}{\pi a^ 2/2} = \frac{4a}{3\pi}となります。

続いて第二問目はGを通る半円の底面に垂直な軸に関する慣性モーメント I_Gを求めよというものです。 ここで用いるのが「平行軸の定理」と呼ばれるもので、式としては

\begin{eqnarray} \displaystyle I_O = I_G + M d^ 2 \end{eqnarray}

と表せます。ここで重心Gを通るある軸に関する慣性モーメントが I_G、ある点Oをとりその軸と平行な軸を I_Oとし線分OGの長さをd、物体の質量をMとしています。 この式が意味するところは恐らく重心周りが一番回転しやすいということでしょう。というと

\begin{eqnarray} I_G = I_O - Md^ 2 \end{eqnarray}

と式変形すれば見やすくなるかもしれません。重心Gの位置というのは、その物体固有のもので不変です。ですから、ある点Oを通る軸周りの慣性モーメントを求めたいとなった時には必ず d \geq 0となります。重心Gを通る軸以外の軸を選んだ時すべてでそれは成り立つため、 I_Gが一番小さいということになります。 早速この式をこの問題に適用してみたいのですが、そのためには I_Oを求めなければいけません。前回同様慣性モーメントの定義

\begin{eqnarray} \displaystyle I = \int \rho r^ 2 dV \end{eqnarray}

を用いてさっさと計算します。今回は \displaystyle \rho = \frac{2M}{\pi a^ 2 h}、 dV = \pi r dr hですね。はい次は算数!!

\begin{eqnarray} \displaystyle I_O = \int_0^ a \frac{2M}{\pi a^ 2 h} \pi r dr h = \frac{Ma^ 2}{2} \end{eqnarray}

よしこれで、平行軸の定理を使えるようになりましたね。

\begin{eqnarray} \displaystyle I_G &=& I_O - M d^2 \\ &=& (\frac{1}{2} - \frac{16}{9 \pi^ 2}) a^2 M \end{eqnarray}

でこれが答えです。

次です。問3です。これまた平行軸の定理を用いるのみでございます。 懐かしの定理、余弦定理を用いて線分PGの長さの2乗を計算します。下の図の赤い斜線で適当に塗られた三角形に対して適用して、

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初等幾何学一番難しい説。

\begin{eqnarray} PG^ 2 = a^ 2 + b^ 2 +2ab \cos{\theta} \end{eqnarray}

この結果を平行軸の定理に適用して、

\begin{eqnarray} I_P &=& I_G + PG^ 2 \\ &=& \frac{9 \pi - 16\cos{\theta}}{6 \pi} Ma^ 2 \end{eqnarray}

となる。

はい次。問4です。これはエネルギー保存則により、

\begin{eqnarray} \frac{1}{2} I_P {{\theta}^ {\prime}}^ 2 + Mg(a - b \cos{\theta}) = Mg(a - b \cos{\theta_0}) \end{eqnarray}

と立式をして、ここから {\theta}^ {\prime}について解きます。すると

\begin{eqnarray} \displaystyle {\theta}^ {\prime} = \sqrt{\frac{ 16g(\cos{\theta} - \cos{\theta_0}) }{a (9 \pi - 16 \cos{\theta})}} \end{eqnarray}

となってこれが答えです。

はい、ラスト。問5です。 やや唐突かもしれませんが、先ほど問4でエネルギー保存則により立てた式を時間微分します、

\begin{eqnarray} \displaystyle \frac{1}{2}(\frac{d I_p}{dt} {{\theta}^ {\prime}}^ 2 + I_P 2 {\theta}^ {\prime} {\theta}^ {\prime \prime}) = -mgb \sin{\theta} \end{eqnarray}

この式に問4で求めた、 {\theta}^ {\prime}、問3で求めた I_Pを時間微分したもの \displaystyle \frac{dI_p}{dt} = \frac{8a^ 2}{3 \pi} \mu \theta^ {\prime} \sin{\theta} を代入して、 \theta \leq 1で \cos{\theta} \approx 1, \sin{\theta} \approx 0を用いれば以下のようになります。

\begin{eqnarray} {\theta}^ {\prime \prime} = \frac{-8g}{a(9 \pi - 16)} \theta \end{eqnarray}

これにより角振動数が先ほどの式の右辺の \thetaの前の係数の根号を取ったものであると分かるので、振動の周期は

\begin{eqnarray} T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{a}{g} (\frac{9\pi}{8} - 2)} \end{eqnarray} となります。これが答えだと思われます。

では。

物理の記事ようやく書けた!?

物理基礎 物理基礎-古典力学 物理基礎-古典力学-剛体の運動

こんちは。 メンボーです。

漸く物理の記事を書きだすことができました。 理想は学部で習った基礎理論(力学・電磁気学・熱力学・量子力学・統計力学)を体系的にまとめ上げて、その都度その都度演習問題を解いていくという形式にすることでした。しかし、そんなことを最初からやろうとしていたら結局何も書けないまま時間が過ぎていってしまうので、とりあえずはいつかやらなければいけない院試を解き進めてここに解説していくという形で物理の記事を書いていけたらいいなと思っています。

では早速やっていきましゅ。 今回は平成30年度筑波大学の大学院入試問題となります。 問題はこちら↓のページの「過去の入試問題」→「平成30年度」と進んでいただくとあると思います。 http://www.px.tsukuba.ac.jp/~senkou/admission.php いや僕が直接問題のpdfのリンクを張ってしまった方が早いですね。こちら↓です。 http://www.px.tsukuba.ac.jp/~senkou/documents/exam/5a053de80a250.pdf

やっぱり最初は古典力学から始めようと思います。[A]問題の部分は少し解説しがいがないので[B]問題から始めていきます。

状況はこう↓

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オエカキタノチ

全体としては摩擦のある直方体の上に円柱置いて、その直方体を引っ張ったら円柱コロコロ転がりながらどんな運動するんやろ？って問題ですね。

問1は「円柱の中心軸周りの慣性モーメントIを求めよ。」、つまり立方体の回りにくさを求めろと言っているわけです。

よくある慣性モーメントIの定義式

I = \int \rho r^ 2 dV

を用いて計算します。今回密度は \displaystyle \rho = \frac{M}{\pi R^ 2 L},微小体積要素は dV = 2 \pi r dr Lとするのがよいでしょう。 結局

\begin{align} I &= \int_0^ R \frac{M}{\pi R^ 2 L} r^ 2 2 \pi r dr L \\　 &= \frac{2M}{R^ 2} \int_0^ R dr \\ &= \frac{2M}{R^ 2} \frac{1}{4} R^ 4 \\ &= \frac{MR^ 2}{2} \end{align}

となって答えです。

はい次問2は「円柱の重心のx方向の運動方程式を書け。」ですね。 ニュートンの運動方程式より

\displaystyle M \frac{dv}{dt} = F

です。

はい次問3。「回転の運動方程式を書け。」 おなじみの回転の運動方程式

\displaystyle I \frac{d \omega}{dt} = N = \boldsymbol{R} \times \boldsymbol{F}

に代入して得られる I \frac{d \omega}{dt} = RFが解です。

はい次問4。「円柱の重心の加速度と角速度、そして板の加速度の間に成立する関係は？」と問うています。 ここで大事なのは円柱がスベっていないこと。このことから

\displaystyle R \frac{d \omega}{dt} = a - \frac{dV}{dt}

が成り立つでしょう。これが解です。

あい、終盤に差し掛かってまいりました。問5。「円柱の角速度を求めよ。」 ここまでで出てきた式を整理すると、
・円柱の並進運動の式　 \displaystyle M \frac{dV}{dt} = F \tag{1}
・円柱の回転運動の式　 \displaystyle I \frac{d \omega}{dt} = RF \tag{2}
・円柱が滑らないための式　 \displaystyle R \frac{d \omega}{dt} = a - \frac{dV}{dt} \tag{3}
ですね。この3式で \displaystyle \frac{d \omega}{dt}を残すように一つの式にまとめて、問1で求めた \displaystyle I = \frac{MR^ 2}{2}を代入すると、 \displaystyle \frac{d \omega}{d t} = \frac{2a}{3R} となるがこれが解であろう。

よいしょ。最後の問題です。問6。「静止摩擦係数μ、重力加速度gとして円柱が滑らずに回転するためのaの条件は？」 摩擦力Fが最大静止摩擦力 F \leq \mu mgを越えなければいいのだから条件式は

F \leq \mu mg

でFは式(2)に前問の解をぶち込んで求められる。すると結局、 a \leq 3 \mu g はいおしまい。。

ではさようなら。

食事日記2020/04/08

もぐもぐ

こんばんは。
一日に二回も投稿は少しうるさいですね。でも許してください。

はい、4月8日の夜ごはんです。

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久々のアジフライ。



 

この日は僕と彼女さんの合作でした。
アジフライは僕、大根と豚肉の炒め物は彼女さんが担当しました。
アジフライは揚げようとしたら油がないことに気づき、急遽オリーブオイルで揚げ焼きにしました。きちんと中まで火を通すまで時間がかかりましたが、その分美味しいアジフライができたかなと思います。
彼女さんの料理の方も、すこし濃いめの味付けでご飯が進むとてもおいしい料理でした。いつも家に行くと料理をしてくれるので本当にありがたいです。。

では。

コーヒー豆のちょっとしたお勉強。

コーヒー

こんにちは。
物理でお悩み中のメンボーです。

今日はコーヒー豆についてゆらりと書いていこうと思います。

コーヒーの木はアカネ科コーヒーノキ属に属する植物の総称で、栽培種、つまりふだん僕たちが口にするものは主に以下の2種を指します。


早速それぞれの種類について説明したいのですが、まずもってコーヒーノキを見たことがある人の方が少ないと思うので、とりあえず画像でどういったものなのかみてみましょう。

こんな感じらしいです↓

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これがコーヒーノキか。

 

細めの幹に不釣り合いな大きな葉がたくさん生えていますね。枝から赤いものが成っていますがあれがコーヒーチェリーと呼ばれる実で、この中にコーヒー豆が入っています。この実を収穫した後、天日干しにして乾燥させるらしいです。
天日干しの様子を画像としてあげたかったのですが、著作権の問題上上げることができなさそうだったので、気になる人は適当にググって見てみてください。
以下の写真は申し訳程度に載せた写真です。。。大量ですね。。。

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たくさん。。


こうして乾燥させた後ようやくコーヒー生豆を取り出して、そいつを脱穀→焙煎します。以下の写真は脱穀が終わってから更に天日干しをしている様子ですね。

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そう焙煎前の生豆は白い。

んで、この生豆を焙煎することでよく皆さんが目にするコーヒー豆になるわけですね。

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コーヒー飲みたくなってきますね。


コーヒー豆の栽培から焙煎までの部分を軽くなぞりましたので、それぞれの種についての説明をしていきたいと思います。


アラビカ種

 

世界のコーヒー生産量の約7割を占める代表的な種です。
苦みは程よく、酸味は強く、香りは花のような甘い香りがするのが特徴です。
味・香りが優れている一方非常にセンシティブな種で、高温多湿の環境には適応せず、霜害に弱く、乾燥にも弱いため栽培が非常に難しいとのことです。

 

ロブスタ種

 

こちらは世界のコーヒー生産量の約3割を占めています。
ロブスタ種はアラビカ種に比べて苦みが強く、ストレートで飲むのは不向きです。なので、中南米産やアフリカ産といった複数のロブスタ種をアラビカ種にブレンドし、アラビカ種の苦みを補うために使用されています。
ちなみにインスタントコーヒーに用いられているのはこの種です。
品質は劣る一方病虫害に強く、高温多湿の気候にも適応するうえ成長が速いらしく、栽培はアラビカ種に比べれば容易らしいです。


本当はもう少し詳しく書きたいのですけど。。。
また今度にしますね。
では、コロナに気を付けて。。


 

 

 

 

コーヒーを巡ってのお話。

コーヒー

こんばんは。

コロナウルスの猛威に恐れ慄いております、メンボーです。

僕にとって今や無くてはならない存在となっているコーヒー。なぜここまでも自分の生活に浸透しているのか、コーヒーを飲みながらふと思うことがあります。そんな時にコーヒーをめぐる色々な思い出が頭に浮かんだので、それらについてつらつらと書いていこうと思います。

コーヒーを飲みはじめたのは、大学に入って一人暮らしをするようになってからでした。
最初は目覚ましに飲んでいました。飲んでいたものがインスタントコーヒーだったからか分かりませんが、そこから苦味が美味しく感じるようになったわけでも無く、ただただカフェインの覚醒作用欲しさに飲んでいたのがそこから長らく続きました。

そこからコーヒーを嗜好品として飲むようになるまでを説明するには、愛すべき彼女さんの存在を出さなければなりません。

出会いは大学に入ってすぐ、サークルのイベントで遠巻きに見かけたのが初めてでした。弾け飛ぶような笑顔がとても印象的でした。
その時、一目惚れとは違う何か凄まじいものを感じた事を覚えています。
ただその時、自分にはまだ地元に好きな人がいたので、何かアクションを起こすわけでもなくそのまま時間が流れていきました。

1年が経過、学年も2年生となりました。
普段サークルにこない彼女は、この新歓時期だけは人助けになるからという理由で来ます。そこで遂に再会を果たして、お話することができました。多分当たり障りのない趣味の話でもしたんでしょう、彼女はプラネタリウムが好きだということをそこで知りました。僕はもともと宇宙が好きだったので、もちろん話は盛り上がりました。そこで、今度一緒にプラネタリウム観にいこうよ！と素直に言えればよかったのですがそうはいかず、その場はそれっきりでおわってしまいました。でもその時確実に心は彼女に動き出していることに気づきました。
転機が訪れたのは物理学類の友達と飲みにいったときのことでした。友達が僕に、「今気になる人は居ないのか？」と訊くので、僕は正直に彼女のことを伝えると、彼女をプラネタリウムに誘うように僕に勧めます。結局その場の流れで彼女に誘いのラインを送信しました。結局それが彼女との最初のデートにつながりました。

今のところ、コーヒーをめぐる話とは？となっている方も多いと思いますが、ここからコーヒーが話の中に入ってくるのでご安心を。

それで、プラネタリウムデートは英語放送で観ざるを得なかったこと以外は特に何事もなく終わりました。(当日は相当焦りました。)そこから、ラインをしばしばするようになって、お食事にも何回かご一緒させてもらいました。そして遂にプラネタリウムデートから約半年が経って、とうとう告白の意思を固める日が来ました。その日は2人で初めて映画を観に行く日で、その映画のタイトルが「コーヒーが冷めないうちに。」でした。その映画を選んだのは彼女さんでした。その日の昼から緊張で心臓がはちきれそうで何にも集中できなかったにも関わらず、その映画をみているときはしっかり内容が入ってきて、終わった時には涙をポロポロ流していました。彼女も泣いていました。僕の高鳴る鼓動を和らげて、感動の涙で包んでくれる、そのくらいハートウォーミングな映画でした。そして映画を観終わったあと、どうにかこうにかして彼女に告白をしてOKを貰うのでございました。(めでたしめでたし。。)

そして時は過ぎ、大イベントのクリスマスがやってきました。その時の僕へのクリスマスプレゼントがコーヒーメーカーでした。もし、ここでコーヒーメーカーを選んでいなかったら、今でもインスタントコーヒーを飲み続けていたかもしれないし、喫茶店でバイトなんてしてなかったかもしれません。間違いなくここからコーヒーが私生活に浸透していきました。

と、彼女の話をしたいのかコーヒーの話をしたいのかよくわからない話になってしまったわけですけれども、とりあえずコーヒーが私生活に浸透するまでの過程は一通り把握できましたね。
さてここで大きな疑問、僕がコーヒーを好きになるまでの過程を人様に伝えたって何になるのか。つまらない。その通りです。
だって僕はこの記事をたった1人のために書いているのだから。
冒頭で書いた自問に自答するためでもない。
君に向けて書いている。
君がくれた思い出を頭の中で綴りながら生きている時も有るのだよ、と君に伝えたいがために書ているのだから。

またコーヒーを巡って温かい話が書ければ良いなと思います。
それでは。

食事日記2020/4/6

もぐもぐ

おはようございます。
研究室生活も早3日目となりました。

研究室に行く日は大体一日中いるので、お昼を外で食べなければいけません。
僕は吝嗇家かつせっかちなので、ついつい菓子パンで済ませてしまいます。
このままでは長い目で見て健康に悪いと判断しましたので、お弁当を作ることにしました。
あまり見栄えの良い写真ではありませんが、完成までお付き合いください。 

 

今日はオムライス的なものを作ろうと思います。
実を言うとオムライスを作るための準備は昨晩からしてあってですね、とりあえずケチャップライス的なものは炊飯器の中で作っておきました。
昨晩ケチャップを切らしていたので代用できるものはないかと考えた末に出た結論は、「トマト缶と米を炊飯器にぶち込む」
でした。トマト缶で炊飯したものがこちら↓になります。

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中途半端なトマトライス。

 

少し味見してみました。
あまりおいしくないです。(案の定)
金輪際先の調理法は致しません。


気を取り直して、次は卵ですね。
面倒なので、包みません。
このケチャップライスをタッパーの中に入れて、その上に卵を乗せるという方針でいきましょう。
なので、卵をタッパーの形に合わせないといけません。

 

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うまく巻いたぞ

 

まぁ、こんなもんでしょう。最終形がこちらです。↓

 

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ぴったりだったね。

 

ま、いぃんじゃないでしょうか。
今日も頑張りましょう。

気持ちだけが空回らないように。

日記

こんばんは。
芋けんぴを若干食べすぎて胃が重いです、メンボーです。

最近やりたいことが多すぎて何から手をつけていいのかわからないので、頭の整理ということで文章を書こう思ったわけですが、同時にブログにその文章を投稿してしまえと思ったのでそうします。

春休み中にやっておきたいことは大別すれば、物理・英語・PC(プログラミング・サーバー構築)と大学3年まで比較的やってきたようなことなんですけど、今回決定的に違うのはこれらで学んだことをブログやホームページなどに書いてアウトプットするということです。

物理でいえば具体的には、過去に解いたレポート問題をもう一度解きながら学部の教科を満遍なく復習すること、研究を進めること、この二つを軸に勉強を進めていきたいと思っています。前者はこのはてなブログで書こうと思っているのですが、自分の研究に関することは自分でホームページを作成して、そこで書いていきたいなと思っています。更に、計算物理学に関してはプログラミングを行うので、QiitaやGithubにあげられたらいいなと思っています。

英語はやる必要もあまりないのですが、3月の上旬に受けた英語の集中授業であまりにも海外の先生の言っていることが聞き取れず、悔しかったのでやります。リーディングに関しては物理の洋書を読む機会があるので大丈夫として、勉強する機会のないリスニングを頑張りたいです。がしかし、英語のためとなるとどうしてもやる気が出ないのでyoutubeで海外の大学の物理の講義を見て、それについて纏めていくという形にしたいです。

PCに関しては、なぜかサーバーを構築してみたいという機運になったので、やってみます。これも、QiitaやGithubにその様子を挙げていきたいと思います。

書き終えて、何となぁく頭の整理ができた気がしますが、本当にやりたいことが多すぎますね。これに加えて、バイト・サークル・人付き合いもあるのでパンクしない程度に自分のペースで頑張っていきたいです。
うす。