Normal Zeeman Effect FINAL
こんちは。 今日は怠惰極まりない日でしたメンボーです。 早速始めますねぇ。
前回までで成したことを主要ステップごとに書いていくとこんな感じでしょうか。
1.一様磁場中に置かれた荷電粒子のハミルトニアンを求める
2.そのハミルトニアンを物理的意味が見える形にする。
※ちなみにハミルトニアン以下の四つの項に分かれるのでした。
(荷電粒子の運動エネルギー項) + (荷電粒子が受けるポテンシャルエネルギー項)
+ (荷電粒子の軌道角運動量と磁場との相互作用によるエネルギー項)
+ (反磁性効果による項)
3.そして、反磁性効果による項が荷電粒子(電子)の軌道角運動量と磁場との相互作用によるエネルギー項よりうんと小さいということが分かった。
今回やることは初回記事Normal Zeeman Effect PART1 - 徒然なるままにでも書いた通り、
「HをうけたHをこの荷電粒子の固有関数に作用させて、エネルギー準位が分裂しているかどうかを確かめる。」
です。(HHうるさいですね過去の自分。。すみませんねほんと。。) 前回までの結果から反磁性効果は無視して、摂動ハミルトニアンは
\begin{eqnarray}
\displaystyle
H^ {\prime} &= \mu_B l_z B \\
\end{eqnarray}
とできますね。ちなみに未摂動ハミルトニアンは
\begin{eqnarray}
\displaystyle
H_0 &= \frac{\boldsymbol{p^ 2} }{2m} -e \phi \\
\end{eqnarray}
ですよね。で、今回ポテンシャルはrだけの関数としましょう。なぜならこの場合荷電粒子(電子)は原子核とのクーロン相互作用によって捕縛されているような状況を考えているからです。 そしてこのとき固有関数としてみんな大嫌いなこいつ↓が採用されていたわけで
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\phi_{nlm} &=& R_{nl}(r) Y_{lm}(\theta, \phi) \tag{1}\\
\end{eqnarray}
ただし、
\begin{eqnarray}
\displaystyle
Y_{lm}(\theta, \phi) &=& \Theta_{lm} (\theta) \Phi(\phi) \\
\Theta_{lm}(\theta) &=&(-1)^ { \frac{m + |m|}{2} } \sqrt{\frac{2l + 1}{2} \frac{(l - |m|)!}{(l + |m|)!}} P_l ^ m (cos \theta) \\
\Phi_m (\phi) &=& \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp(im \phi) \\
P_l ^ m &=& \frac{ (1 - x^2)^ \frac{|m|}{2}}{2^ l l!} \frac{d^ {|m| + l} }{dx ^|m| + l} (x^ 2 - 1)^ l \\
\end{eqnarray}
んで、式1を固有関数に取ればそれはの固有関数にもなっていますね。なので式1をブラケット表記にして書き、そいつに
を作用させれば
\begin{eqnarray}
\displaystyle
H | n , l , m > = ( \epsilon_{nl}^ {(0)} + \mu_B m B) | n, l, m >
\end{eqnarray}
となる。このことから、 で表される2l+1重のエネルギー準位が磁気量子数mの異なる2l+1個に分裂することが分かりますね。
めでたしめでたしでございます。
バド日記の回想
こんちは。
今日はなんだか勉強したくありません、とても。
メンボーです。
コロナウイルスで体育施設が使えなくなって以来、ラケットを触ることが無くなってしまいました。少し悲しいので、いつも練習後に書き留めていたその日の反省を振り返ることにしたいと思います。
ただ、スポーツにおける反省は個人差が激しく、自分の反省全てがバドをやっている方全員のためになることはありません。なので、ある程度の方たちにも当てはまりそうな、教育的な反省を行いたいと思います。
(※個人的にシングルスが大好きなのでシングルスの観点からの反省点が多いと思われます。)
箇条書きでよろしくないプレーを取り上げ、それがなぜ起きるか、改善するとしたらどう改善するか、そのプレーの完成形をプロの動画で見るという形で進めていきます。
では早速。
- ラウンドで後方にジャンプした後の着地の際、左足が伸び切った状態で床に対して垂直に着地してしまう。
このケース結構ありがちだと思います。打点に入りきれず、ラウンド側のシャトルを無理に取りに行くときにおこります。打点に入り切れていない分クリアだと相手に見切られてしまうという点でも、けがのリスクが高まるという点でもよくないですね。理想は恐らく、
左足が少し屈曲した状態で地面に対して斜めに着地する
のが良いのではないでしょうか。
そうすれば、膝への負担も減らせるでしょうし、左足に対して体が前にある状態になるのでショット後に前に移動しやすいというメリットもあります。
ここでLee chong wei氏のお手本を見ておきましょう。
この動画の1:23のラウンドスマッシュを一時停止しながら見ると分かると思います。
こういうことです。
はい次。
- フォア側へ来たスマッシュを右手を引いて半身になりながら返してしまう。
これもありがちですね。といってもわからない人は分からないかもしれないので、とりあえず動画見てくださいな。↓この動画の12分44秒あたりです。
MS | LEE Chong Wei (MAS) [7] vs Kento MOMOTA (JPN) | BWF 2018
あまりやってはいけない例としてLee chong wei氏のプレーを引き合いに出すのはいかがなものかと思いますが、まあ相手が相手ですからね。。。。桃田がうますぎたということにしておきましょう。
このありがちなショット何で起きるのかというと、準備不足ですよね。本来ならもっと体の前でレシーブしなければいけないところを、タイミングが遅れてしまったせいで右手を体の近くまでひきつけて打たざるを得なかった。確かにこのショット自体うまくいけば有効です。なぜなら、このように右手をひきつけて打つとなると勝手にラケットの面がクロス側を向き、相手を対角線に振ることができるからです。ただ、このショットは上述のようにタイミングが遅れた結果としてのショットなのであまり良いとは言えないでしょう。
準備はしっかりと。。
※少し上の選手だとあえて少しタイミングを遅らせて、クロスに打つような人もいるようです。
はい次。
- ヘアピンの際、重心が上から下にぶれてから打ってしまう。
これもありがちですねぇ。これはきっと股関節の柔軟性の低さから来ていると思われます。基本的にショット前に重心が上から下へぶれると精度が非常に低くなります。
自分の感覚としては
下から上に骨盤を持ち上げるようにしてヘアピンを打つ
と安定します。それを一番よく体現できている選手が桃田選手だと思うので、さっそく見てみましょう。
Kento Momota 桃田 賢斗 vs Chou Tien Chen
この動画の40~42秒、ラウンド側からのフォア前のヘアピンという一連の流れです。
これほんとにすごいですね。。対角線にすごいスピードで移動してヘアピンショットの後にはピタッと止まるんですよね。。
下から上に骨盤が持ち上がっている感じはあまりしないでしょうけど、これくらい上下のブレを無くそうとすると感覚的には下から上に骨盤を持ち上げるという意識が相当必要になると思います。日頃からの心がけですね。。
はい、次。
- ドロップの際に腕の動きに合わせてのろりそろりと打点に入ってしまう。
主に基礎打ちの時の話ですね。
基礎打ちとはいっても常に実戦の時を考えながら打たなければいけないわけですから、これはあかんですよね。
少し初動が遅れてしまって、少し自分の体の後ろでショットを打つ場合を想定してやっているのならいいですけど、ドロップは不利な体勢から立て直しまでの時間稼ぎのためだけにあるわけではないわけですから、色んな場合を想定しながら練習すべきですよね。(※スマッシュと見せかけてドロップを打ちたいのなら早めに打点に入らなければいけないし、相手の様子見のためなら相手にショットを読まれてはいけないし、その上甘い球も打てませんのでそれなりに早く落下地点に到達してなるべく同じモーションで打たなければいけません。)これも日頃の意識の問題ですわね。
はい次。
- スマッシュレシーブの時の両足の幅が狭い。
自分のスマッシュレシーブのあとの足を見てみると肩幅より少しだけ広い程度
のことが多いです。きっとこれだから左右の振りに対応できないんだと思います。
ここでLin dan選手のスマッシュレシーブを見てましょう。この動画↓の55秒のレシーブです。
Lin Dan 2014 - right hand low angle
一時停止してみてもらいたいんですけど、肩幅の二倍くらい足が開いてますよね。
このくらい開いてるのが理想なんでしょうね。。
半面基礎打ちのスマッシュ練習の時に心掛けることから始めていきましょう。。
はい、次。
- フォア奥からのスマッシュを打つ時に体が正面に回りきらない。
まぁ、そもそもそこそこジャンプスマッシュができるようになってからの話だと思いますが、半身移動からジャンプ中に正面に体を向けるってのはその後の前への移動をスムーズにするという点からも大事だし、体の回旋運動を腕にきちんと伝えてスマッシュの威力を増すという観点からも重要です。
フォア奥スマッシュのお手本と言えばLin dan選手ですね。この動画↓の6分57秒に注目！
Lin Dan vs Viktor Axelsen - MS [Denmark Open 2015]
とても力強いですよね。。。
こんなことできたらいいなぁ。。。
他にももっとたくさんあるんですけどたくさんの人のプレーを見てきて、他の人にも当てはまりそうなのはこれくらいですかね。
皆さんの参考になったら幸いです。
はやくコロナ騒動が落ち着いて、各々好きなことができるといいですね。
では。
Paramagnetisim and Diamagnetism
Hello. This is Menbo.
I'm getting used to stay home, and enjoying this life style.
This time, the theme of this video↓ is magnetism.
I think everyone once thought why N and S are attracted each other and the same poles are repulsed.
This vedio doesn't give the answer to this basic question, and honestly, I have no confidence to explain this to everyone and make theirselves understood.
Apart from a difficult theory, let's watch an interesting phenomenon.
Paramagnetism and Diamagnetism
In this video, we can watch reactions of materials which is exposed to the external magnetic field.
Resercher devided types of reactions into two groups, Paramagnetism and Diamagnetism. The former is usual for us, but the latter is unusual for us.
Materials behave as N pole to N pole, and S pole to S pole , and then generate
repulsive forces. Really interesting!!
This origin is Diamagnetisim and this is fundamentary from paired electrons.
If you are interested in Diamagnetism, please check this pdf↓.
http://e.sci.osaka-cu.ac.jp/yoshino/edu/water/chapter04.pdf
So much for today. Thank you.
Normal Zeeman Effect PART2
こんにちは。 いつもぴえんのメンボーです。
早速続きをやっていきます。 前回は質量mの電荷qをもつ荷電粒子に電場,磁場
を印加したときハミルトニアンがどのような形になるのかを調べたのでした。結局、ベクトルポ
とスカラーポ
を用いて、
\begin{eqnarray} H &=& \frac{1}{2m} (\boldsymbol{p} - q \boldsymbol{A})^ 2 + q \phi \tag{1} \end{eqnarray}
になったのでした。前回の記述だと今回は、
HにHを施す。
ことが使命です。
では、いざ！
今回は舞台を原子核中におき、注目する荷電粒子を電子とします。なので、これまで使っていた電荷qを-eとして計算します。
ここで空間のある方向に、例えばz軸に向かって一様な磁場を印加したときのことを考えます。
ベクトルポ
を対称ゲージ
として選ぶことで一様磁場が作られます*1。 すると、式2の運動エネルギー項の中で
と
という2つの計算をすべき項が出てきます。なので計算します。
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\boldsymbol{p} \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{2}ｐ_i \, \epsilon_{ijk} \, B_j \, r_k \\
&= \frac{1}{2} B_j \, \epsilon_{jki} \, r_k \, P_i \\
&= \frac{1}{2} \boldsymbol{B} \cdot (\boldsymbol{r} \times \boldsymbol{P})
\end{eqnarray}
ほい。そんでもって、
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\boldsymbol{A}^2 &= \frac{1}{4} (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{r}) \cdot (\boldsymbol{B} \times \boldsymbol{r}) \\
&= \frac{1}{4} (\epsilon_{ijk} \, B_j \, r_k \, \epsilon_{klm} \, B_l \, r_m) \\
&= \frac{1}{4} (\delta_{jl} \, \delta_{km} \, - \delta_{jm} \, \delta_{kl}) B_j \, r_k \, B_l \, r_m \\
&= \frac{1}{4} \left \{ \boldsymbol{B}^ 2 \boldsymbol{r}^ 2 - (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{r}) \right \}
\end{eqnarray}
となります。これを再度ハミルトニアンに代入して整理すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle
H = \frac{\boldsymbol{p}^ 2}{2m} -e \phi + \left[ \frac{e}{2m} ( \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} ) + \left \{\frac{e^ 2}{8m} \boldsymbol{B} r^ 2 - (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r} \right \} \right] \cdot \boldsymbol{B} \tag{2}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\displaystyle
H_0 = \left [ \mu_B \boldsymbol{l} + \frac{e^ 2}{8m} \left \{ \boldsymbol{B} r^ 2 - (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{r} ) \boldsymbol{r} \right \} \right] \cdot \boldsymbol{B} \tag{3}
\end{eqnarray}
この式から軌道磁気モーメントは
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\mu_0= -\frac{\partial H_0}{\partial \boldsymbol{B}} = -\mu_B \boldsymbol{l} - \frac{e^ 2}{4m} \left \{ \boldsymbol{B} r^ 2 - (\boldsymbol{B} \cdot \boldsymbol{r}) \boldsymbol{r} \right \}\tag{4}
\end{eqnarray}
となり、第二項目は外部磁場を打ち消す方向に磁気モーメントを作るように流れる誘導電流によって生じる反磁性効果を表します。
一般にこの反磁性項の寄与は軌道角運動量に比例する項に比べて非常に小さい、と教科書に書いてあることを鵜呑みするのは簡単なので、これらの項の大きさを比較してみましょう。
取り敢えず少し戻って(というのも最終的に基本的な物理量に数値を代入比較するため、最終的に得られた式2では少し都合が悪いのである)、軌道角運動量に比例する項(ここで
とする。)、反磁性の項(ここで
とする。)それぞれの項がどこから来たのかを確かめます。すると、
は
、
は
から来ていることが分かる。
さぁ、ここからはどんぶり計算であります。大きさだけに着目して大雑把に計算していきます。
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\frac{H_D}{H_P} &= \frac{(q^ 2 /2m) A^ 2}{(e / 2m) 2PA} \backsim \frac{e A}{2P} \backsim \frac{eA}{P} \\
&= \frac{e (1/2 \, B \times r)}{\hbar / a_B} \\
&= \frac{|B| {a_B}^ 2}{h/|e|}
\end{eqnarray}
上の計算を行う上で、「原子に関する現象では長さのスケールがボーア半径程度である」という仮定を行いました。
更に、二つ目の等号では対称ゲージとド・ブロイの関係式を用いました。そうして出てきたのはという式で、これなら計算できそうですね。
今回は
] (1[T]は
として、かなり強い磁場を印加したとしてみましょう。各物理量の数値は以下の通りで、
\begin{eqnarray}
a_B = 0.529 \times 10^ {-10} [m] \, , \, h = 6.63 \times 10^ {-34} [J \cdot s] = [kg m^ 2 s^ {-1}] \, , \, |e| = 1.6 \times 10^ {-19} [C] = [A \cdot s]
\end{eqnarray}
実際に計算すると、となり、反磁性効果が非常に小さいことが分かりました。正常ゼーマン効果の説明は次で最後になりますが、この反磁性効果が無視できるということを前提として話を進めていくので、こんな計算をしたのでございます。
今回の目標は前回求めたハミルトニアンを綺麗な形にもっていくことでした。この綺麗という言葉、不確定要素が高すぎましたがこの言葉が意味していたのは数式が見た目に美しくなるというのではなく、物理的に意味を持つ項に分かれるということなのでした。
今回も目標達成ということでいいですよね、、物理をやっていると常に疑心暗鬼にならざるを得ません、、
そんな不安を抱えつつ、さようなら、、
Stern-Gerlach Experiment
Hello.
Yesterday, I worked as a farmer all day long after a long time, so I'm still tired today.
Hi, I'm Menbo.
I watched this video↓ today.
Stern-Gerlach Experiment (U2 07 03)
As it is said that
They were the first to demonstrate that the spin is quantized or separated in up and down. It was sensational achievement in their time.
at the end of this video. Nothing have to be added to this explain.
However, I explain this very roughly for my study.
At first, we should check the flow of this experiment↓
1. launch the beam of ion toward the uniform magnetic field
2. project this beam on a screen and observe
In terms of classical theory, this shows such a distribution that the most Ag ions are projected at the center of screen, and they decreace the farther and farther from the center.
However, in fact, this peak is split into two.
This shows that the spin is quantized into upgoing spin and downgoing spin.
If you are interested in Stern-Gerlach Experiment, please watch this page↓
https://eman-physics.net/quantum/spin.html
Thank you.
Have a nice day!
Normal Zeeman Effect PART1
こんにちは。
研究に一切手を付けていません。怠惰なメンボーです。
まぁ、ただコロナの影響で研究室に行くことができないという状況ですので自分の勉強しててもいいですよね。
ということでずっとなおざりにしてきたゼーマン効果についてやっていきたいと思います。
正常ゼーマン効果を一言で言えば、
「縮退していた軌道角運動量のエネルギー準位が外部磁場によって解かれること」
です。
早速説明に入っていきます。最初に大まかな手順を示します。
「正常ゼーマン効果理解した。」までの道のり
- 磁場中の荷電粒子のハミルトニアンを求める。
- Hに式変形を施す。(ハミルトニアンをきれいな形に持っていきます。)
- HをうけたHをこの荷電粒子の固有関数に作用させて、エネルギー準位が分裂しているかどうかを確かめる。 です。
今回はstep1を進めていきます。
真空中の質量m, 電荷qの荷電粒子に電場,磁場
を印加します。この時Newton:eqより
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\boldsymbol{F} = q \boldsymbol{E} + q( \boldsymbol{v} \times \boldsymbol{B}) \\
\end{eqnarray}
ですね。今後のことも考えてEinsteinの縮約記法(添え字)使って書きましょう
\begin{eqnarray}
\displaystyle
m \ddot{X_i} &=& q ( E_i + (v \times B)_i ) \
&=& q ( E_i + \epsilon_{ijk} v_j B_k) \tag{1}
\end{eqnarray}
ですね。ここで、更に改良します。電磁場を表すときは何かとスカラーポテンシャル
\begin{eqnarray}
\displaystyle
E_i &=& - \partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t} \\
B_i &=& \epsilon_{ijk} \partial_j A_k
\end{eqnarray}
を式(1)に代入します。すると、
\begin{eqnarray}
\displaystyle
m \ddot{X_i} &=& q ( - \partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t} + \epsilon_{ijk} \, v_j \, \epsilon_{klm} \, \partial_l \, A_m ) \\
&=& q ( - \partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t} - \epsilon_{kji} \, \epsilon_{klm} \, v_j \, \partial_l \, A_m ) \\
&=& q ( - \partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t} - (\delta_{jl} \, \delta_{im} \, - \delta_{jm} \, \delta_{il}) \, v_j \, \partial_l \, A_m ) \\
&=& q ( - \partial_i \phi - \frac{\partial A_i}{\partial t} - v_j \, \partial_j \, A_i + v_j \, \partial_i \, A_m ) \tag{2}
\end{eqnarray}
となる。最終目標はハミルトニアンを作ることなのだから、正準運動量を求めなければいけない。そのためにはラグランジアン作らなければいけない。正準運動量は
で定義されるのだから。ではラグランジアンを求めていきたいのであるが、
で楽勝やぁとそうはいかない。なぜなら力が速度によっているからです。
そこで逆に式(2)がEuler-Lagrange:eq式(3)から出てくるような
\begin{eqnarray}
\displaystyle
\frac{d}{d t}(\frac{\partial L}{\partial \dot{X_i}}) - \frac{\partial L}{\partial X_i} = 0
\end{eqnarray}
Lよ降りてこい降りてこいと願うとこんな↓Lが出てくるわけですね。
\begin{eqnarray}
\displaystyle
L &=& \frac{m}{2} \sum_i^ 3 \dot{X_i}^ 2 - q\phi + q(\sum_i^ 3 X_i A_{j})
\end{eqnarray}
んで、はですね
\begin{eqnarray}
P_i = \frac{\partial L}{\partial X_i} = m \dot{X_i} + q A_i \tag{4}
\end{eqnarray}
となりました。そしてHamiltonianとLagrangianには以下のようなLegandre変換の関係がありますから、
\begin{eqnarray}
H &=& \boldsymbol{\dot{X}} \boldsymbol{P} - L = \frac{m}{2} \boldsymbol{\dot{X}}^ 2 + q \phi
\end{eqnarray}
となる。しかしここには式(4)の正準運動量が入らなければいけないので結局
\begin{eqnarray}
H &=& \frac{1}{2m} (\boldsymbol{p} - q \boldsymbol{A})^ 2 + q \phi \\
\end{eqnarray}
(但し、は正準運動量なのではなく普通の運動量)となって目標であった磁場中の荷電粒子のハミルトニアンを求めることができました。よかったですね(他人事)。
First English Submission!!
Hello.
I'm Menbo.
Today, I unusually feeling good!!
At first, I have to explain why I wrote this article.
When I was in junior high school, and high school, my most favorite subject is English.
However, I was very very very poor at listening English, and now I haven't changed at all.
So I often practiced listening English, but it doesn't last so long. Then I wonder to me what motivates me to continue study English. I came up with idea that thinking English as tool for understanding physics.
So I'm sometimes going to post English article mainly about physics.
I find interesting videos dealing with physics and helping my understanding with visualization. Of course this is spoken in English.
After that, I watch this video, and summarize very very very roughly.
Finally, I write down summary in this blog as an article.
Through these steps, I want to keep on posting a blog.
Let‘s cut to the chase.
Today, I'm going to introduce this ↓ video.
Ben Miller experiments with superfluid helium - Horizon: What is One Degree? - BBC Two
In this experiment, they cool helium, and watch it turns "superfluid".
"Superfluid" is explained that
their fundamental quantum nature asserts itsself instead of individual atoms bouncing around the atoms move together as if they were one mind
Quantum mechanics says that all the matter have nature as 'wave', and this phenomenon called "superfluid" shows that the nature as 'wave' come up in macroscopic scale.
Interesting feaure of this is that "superfluid" has no viscosity, to put it simply it has no resistance. So it pouring out from container defying gravity.
If you are interested in this phenomenon, and want to learn about it, please check this link↓
http://kelvin.phys.s.u-tokyo.ac.jp/japanese/research/helium.html
So much for today. Thank you.
